Möbius Şeridinin İncelenmesi

Bir yüzeyi neresinden tutmalı

Yüzeyleri en basit anlamda incelemek için yüzeyi, verilen bir koordinat sistemi için belirli şartlardaki bir denklemi sağlayan noktalar kümesi olarak alabiliriz. İncelemede kolaylık sağlaması açısından bazı aynı özellikleri gösteren yüzeyleri aynı sınıflara koyarak bir sınıflandırmaya gidelim. Bu sayede Möbius şeridinin Öklid uzayındaki özel bir gösterilimi ile kısıtlı kalmayacağız, etrafımızdaki Möbius şeritlerini de görmeyi başaracağız. Şimdi yüzeylerin bazı ortak özelliklerini nasıl öne çıkarabileceğimizi inceleyelim.

Mesela üç boyutlu Öklid uzayı içindeki z = xy (1) ve 2Z = X² - Y² (2) denkemlerinin belirttikleri yüzeyleri ele alalım. Biraz dikkat edilirse, her iki yüzey de benzer bazı özellikler gösterir. Hatta (1) yüzeyinin denkleminde x = (X+Y) / ve y = (X-Y) / alalım. O zaman z = xy = (X+Y) (X-Y) / 2 = (X² - Y²) / 2, her iki tarafı 2 ile çarparsak (2) denkleminin elde edildiği görülür, yapılan iş ise sadece bir katı cisim hareketi, yani bir afin dönüşümdür, bu yüzeyler koordinat sistemi seçimi dışında aynıdır. O halde aynı tür yüzeyleri gruplarken, yüzey gruplarının seçilen koordinat sisteminden bağımsız olmasını isteyeceğiz. Bunun için de ölçümlere bağımlı kavramlar kullanmak yerine daha genel kavramlar kullanmalıyız. Burada ise işin içine topoloji girer.

Topoloji, matematiğin bir dalı olarak XIX. yüzyılın sonlarında ünlü Fransız matematikçi Henri Poincaré'nin çalışmaları ile sistematik oluşumuna başlamaıştır. Aslında, topoloji alanındaki araştırmaların başlangıcı G. Riemann'ın XIX. yy. ortalarına rastlayan fonksiyonlar teorisi ile ilgili çalışmaları olarak alınabilir. Fakat ilk topolojik kavramları ortaya atıp üzerine derin bir teoriyi kuran Poincaré'dir. Bakın Poincaré topolojiyi (o zamanlar analysis situs deniyordu) nasıl tanımlamış:

• Analysis situs, geometrik şekillerin, sadece alışılmış uzayda değil, üçten fazla boyutlu uzaylarda da niteliklerini öğrenmemizi sağlayan bir bilimdir. Üç boyutlu uzayda analysis situs, bizim için neredeyse sezgisel bir bilgidir. Üçten fazla boyutlu uzaylarda ise, analysis situs karşmıza çok büyük zorluklar çıkarır, üstesinden gelmeye çalışmak için ise, bireyin bu bilimin büyük önemine inanmış olması gerekir. Eğer bu önem herkes tarafından anlaşılmamış ise, demek ki herkes yeterince üzerine düşünmemiştir.

Bir geometrik şeklin niteliksel özelliklerini daha iyi anlamak için bir küreyi, elastik bir balon olarak düşünelim. Bu küreyi, parçalamadan veya farklı iki noktasını yapıştırmadan şeklinde meydana getirilebilen tüm değişimlere homeomorfizma denir (yani birebir, örten, kendi ve tersi sürekli bir fonksiyon), ve bir şeklin böyle bir dönüşüm altındaki görüntüsü ile bir homeomorfik taklidi elde edilir. O halde, kürenin niteliksel özellikleri, tüm homeomorfik taklitleri ile paylaştığı özellikleridir. Bu özelliklere de topolojik özellikler denir.

Möbius şeridi

Artık bir Möbius şeridinin tanımını verebiliriz. Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir (Bakınız şekil 1). İlk olarak 1861'de Johann Benedict Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır, bunun için de yüzeyin yönlü üçgenler ile kaplı olduğunu varsaymış, fakat tüm yüzeyin aralarında uyumlu yönlü üçgenler ile kaplanamayacağını göstermiştir.

Şekil 1. Möbius şeridinin elde edilişi.

Şimdi biraz daha farklı ve kullanışlı bir gösterilim geliştirip Möbius şeridini incelemeye başlayalım:

Şekil 2(a)'daki gibi, bir kareyi aldığımızda, aynı isimlendirilen kenarlar oklar yönünde birleştiriliyor anlamına gelsin. O halde ABCD diye bu kareyi adlandırıp bir koordinat sistemi üzerine yerleştirebiliriz. A(0,0) ve C(1,1) olsun (Yani, bu örnekte, AD ile BC ters yönde birleştiriliyorlar).

Şekil 2(a). Möbius şeridinin temel çokgeni, (b) Böceğin hareketi.

Şekilde de görülebileceği gibi AD üzeindeki L(0,x) ve BC üzerindeki L'(1,1-x) noktaları yapıştırma sonucunda aynı noktalar olacaktır. Bu Möbius şeridi üzerinde, P noktasından gezmeye başlayan bir böceğin kısa gezintisini Şekil 2(b)'de görebiliriz. BC sınırına gelen böcek, BC AB ile yapıştırıldığından karşılık gelen yerden duraksamadan, hiçbir değişiklik hissetmeden gezinmeye devam eder. Böceğin BC'yi geçince simetrisini görünce çok da şaşırmamak gerekli. Zaten Möbius'un, bu şeridin yönlendirilemez olduğunu demesi bundan ibarettir, böcek AD be BC'nin orta noktalarını birleştiren doğru üzerinde gezseydi, başlangıç konumuna tekrar vardığında sınırları aşmamasına rağmen, önceden sırtı bize yönelmişken, bu sefer karnı bize yönelmiş olur (simetrisini gördüğümüzden). Böceğin hareketini, bir boya fırçasının hareketi olarak düşünsek, şeridin bir yüzünü boyamaya başlayan bir fırça, sınırdan öteki yüze atlamadan, her iki yüzü boyardı, yani aslında yüz sayısı iki değildir. Böceği düşenmeye devam edelim. Bu böcek bir küre yüzeyi üzerinde gezseydi böyle bir durumla asla karşılaşamayacaktı. Fakat dünyamız bir Klein şişesi olsaydı bu durumla karşılaşma ihtimali olurdu. Öncelikle Klein şişesinin ne olduğunu hatırlayalım:

Möbius şeridi gibi tek yüzlü olan Klein şişesi, kapalı bir yüzeydir. Bir silindirin sınır çemberlerini farklı yönlerde birleştirirsek elde edeceğimiz şekil bir Klein şişesidir. Bu tanıma göre Klein şişesinin temel çokgenini şekil 3(a)'daki gibi çizeriz, elde ettiğimiz yüzeyin bir çizimi ise şekil 3(d)'de görülüyor. Kenarların birleştirilmelerini biraz daha açık yazmak istersek, AD üzerindeki (0,x) noktası BC üzerindeki aynı hizalı (1,x) noktasıyla, AB üzerindeki (x,0) noktası ise DC üzerindeki (1-x,1) noktası ile birleşir. Maalesef üç boyutlu Öklid uzayında bu şişeyi gösterebilmek için silindirin kendi kendisini kesmesi gerekmektedir. Aslında yüzey üzerindeki kesişimi, bir hayaletin bir duvardan öteye geçmesi gibi düşünelim.

Şekil 3(a) Klein şişesinin temel çokgeni ve (b)-(d) kenarların yapıştırılması.

Bu şişenin tek yüzlü olması, yaklaştığınızda Möbius şeridi kokuları almanıza yol açar, hatta, şimdi size büyük bir iddiamız var: Klein şişesi, Möbius şeridi içerir. Bunu ise Klein şişesini basit kapalı bir eğri ile keserek göstereceğiz. Şekil 4(a)'de görülen kesik çizgiler boyunca Klein şişesinin temel çokgenini keselim, sonra da kurallara uygun şekilde birleştirmeyi deniyelim:

Şekil 4(a) Nasıl kesmeli, (b) kesince, (c) tekar düzenlenince

İşlemleri Klein şişesinin temel çokgeni ABCD üzerinde yapalım. Şekil 4(a)'da görülen APC eğrisi Klein şişesi üzerinde basit kapalı bir eğridir (dikkat edilmeli ki çokgen üzerinde iki eğri var gibi gözükse bile nasıl farklı görünen iki noktanın adı P ise, eğri de bir P noktasına varınca, diğerinden devam eder). Şekil 4(b)'de çokgenin kesilmiş halini görüyoruz. Burada APCP dörtgeninin oklar yönünde birleştirilince bir Möbius şeridi olduğunu görünce koku duyumuzda yanılmadığımızı görürüz. Peki geri kalan parçalar nedir? AD ile BC doğruları ok yönünde birleştirilince, Şekil 4(c)'de görüldüğü üzere, bir tane daha Möbius şeridi elde ettiğimizi farkederiz! O halde her Klein şişesi, bünyesinde iki Möbius şeridi içerir, daha güzel söylemek gerekirse, iki Möbius şeridi alıp sınırları boyunca birbirine yapıştırırsak, elde edeceğimiz Klein şişesinden başka birşey değildir.

Şimdi ise son olarak Möbius şeridinin kendisini kesmeyi deniyelim. Acaba Möbius şeridini boylu boyunca kesersek ne elde edeceğiz? Mesela sınırından genişliğinin dörtte biri uzaklıktan kesmeye başlayalım. Bunu Möbius şeridinin temel çokgeni üzerinde göstermek istersek Şekil 5'deki manzara karşımıza çıkar.

Şekil 5. Möbius şeridini kesince ne elde ederiz?

PQP basit kapalı bir eğridir, kesildikten sonra AD kenarının üzerindeki PQ parçası, BC üzerinde karşılık gelen QP parçası ile ters yönde birleştirilir, yani bir Möbius şeridi elde edilir, hem de annesinin yarı genişliğine sahip bir şerit. APQB ile PCDQ birleştirildiğinde ise başka bir şerit daha elde ederiz. Bu şerit ise BQ ile QD ters yönde, sonra da PC ile AP de ters yönde birleştirileceğinden tam bir dönme içeren bir şerit elde edilir, doğal olarak artık bu ükü yüze sahiptir, topolojik olarak bir silindirdir, ayrıca kolayca gösterilebileceği gibi silindir ise topolojik olarak bir noktası eksik düzlem ile aynıdır.

Bu yazıyı ufak bir soru ile noktalıyoruz. Möbius şeridini tam ortası boyunca kesseydik ne olurdu? Bunu bir limit olarak düşünün, yani PQ eğrilerini yavaş yavaş merkez doğrusuna yaklaştırın. Hepinize eğlenceli ve topolojili günler dileğiyle.

MATEMATIK SAYFASINA GERI DONUS

KLEIN SISESINE GERI DONUS